菠菜平台高瓴人工智能学院长聘教授孙浩团队在Nature子刊Nature Computational Science（《自然-盘算科学》）发表题为“Discovering physical laws with parallel symbolic enumeration”的Article文章，提出了一种称为并行符号枚举（Parallel Symbolic Enumeration，PSE）的符号回归要领，该要领以创新的并行符号回归网络（Parallel Symbolic Regression Network，PSRN）为焦点，能够从有限的视察数据中高效、准确地发现其背后隐藏的物理纪律等数学表达式。文章第一作者为阮恺（博士生），通讯作者为孙浩。

这是人大高瓴人工智能学院首次在《自然-盘算科学》发表论文。此前，孙浩团队已经在《自然-机械智能》《自然-通讯》上共发表4篇论文。《自然-盘算科学》聚焦盘算技术与数学模型的开发及应用，致力于解决跨学科科学难题。涵盖从突破性算法到创新盘算要领的研究，旨在推动科研进步并解决现实挑战。

从数据中自动发现简练、可解释的数学表达式（即符号回归），是推动现代科学研究的要害，在天文、质料、物理和生物等领域具有广泛的应用前景。然而，符号回归的焦点挑战在于其巨大的搜索空间，潜在表达式的数量会随着庞大度的增加而组合爆炸，这是一个NP难问题。现有的算法，如遗传编程、深度学习等，在处置惩罚庞大问题时面临着准确性和效率的瓶颈，它们通常独立评估每一个候选表达式，导致了大量的重复盘算，不仅效率低下，而且难以发现庞大、高维问题背后的真实纪律，成为制约该领域生长十余年的难题。

为此，研究团队提出了并行符号枚举（PSE）新要领（图1），旨在突破符号回归的效率与准确性瓶颈。该要领的焦点是一种创新的并行符号回归网络（PSRN）。与传统要领差异，PSRN能够自动识别并复用差异数学表达式中的公共子树，从基础上制止了冗余盘算。同时，该网络充实利用GPU的并行盘算能力，可在数秒内同时评估数亿个候选表达式，实现了搜索效率的指数级提升。通过与令牌生成器（如遗传编程）的迭代结合，PSE能够逐步构建并发现深条理的庞大公式。

图1 | PSE模型概览。a) PSRN回归器生成候选表达式，通过误差评估获得最优表达式，再经最小二乘法微调系数后更新帕累托前沿。b) PSRN前向盘算将数据张量并行处置惩罚，通过多个符号层生成海量子树值，最终输出数亿候选表达式。c) 标志生成器与PSRN回归器形成闭环，驱动表达式连续优化。d) 公共子树识别使差异表达式可复用相同子树盘算结果，显著淘汰冗余运算。e) 去重掩码层通过屏蔽符号等价表达式，有效降低GPU显存占用。f) 对表达式系数进行微调。

研究团队在凌驾200个涵盖合成基准（图2）和真实物理实验（如混沌动力系统（图3）、机电定位系统、湍流摩擦定律（图4））的符号回归问题集上系统验证了PSE的性能。实验结果讲明，与当前国际主流算法相比，PSE在符号恢复准确率上大幅提升，同时盘算速度快一个数量级以上，展现了卓越的准确性、效率和可扩展性。

图2 | 各模型在符号回归基准测试中的性能对比。接纳符号恢复率（左）和运行时间（右）两项指标评估，PSE要领在所有基准集上均取得最高恢复率且耗时最短。

自然界中普遍存在的非线性动力学系统通常由一组微分方程所支配。从有限的视察数据中提炼出这些控制方程，对于深入理解其内在机理至关重要。为此，研究团队测试了PSE模型发现多维自主混沌动力学系统控制方程的能力。

实验使用带噪声的轨迹数据，在给定一组候选算子和有限的盘算时间预算下，对PSE及多种基准模型进行了实验（图3）。纵然在数据存在噪声滋扰的情况下，PSE模型依然能以更高的符号恢复率准确辨识出潜在的控制方程。这一结果证实了PSE在处置惩罚庞大动力学系统辨识问题时，具备精彩的准确性和效率。

图3 | 差异模型对非线性混沌动力学方程的数据驱动发现对比。在盘算时间预算相同的情况下，PSE找到真实控制方程的概率最高。各模型运行时间均限制在10分钟以内。

为了进一步验证PSE在真实物理场景中的能力，研究团队将其应用于处置惩罚充满庞大噪声与非线性的真实实验数据。测试场景包罗两个经典物理问题：一是机电定位系统的动力学建模，二是探索湍流摩擦定律。

在机电定位系统实验中，寻找其控制方程对于设计更优的控制器和优化系统参数至关重要。实验评估的焦点是平衡预测误差与模型庞大度，以获得一个既切合数据又简练可解释的方程。而在流体力学领域，发现一个能够统一描述雷诺数、相对粗拙度与摩擦系数之间关系的公式，一直是该领域的一项基本挑战。（图4）在这两项基于真实实验数据的任务中，PSE均体现精彩：它不仅能到达甚至逾越其他要领的拟合精度，还能生成更为简练的符号表达式，在预测精度和模型简练性之间取得了最佳平衡。

图4｜用实验数据发现物理纪律。通过机电定位系统实验收罗数据，对比了多种领先要领的性能。结果显示，PSE要领在预测精度和模型简练性方面体现最优，能够找到更简练准确的数学公式。

该事情为数据驱动的科学发现提供了一个高效、可扩展的盘算框架，为自动化科学探索开辟了新路径，有望加速物理、质料、天文和生物等多个交织学科领域的科学探索进程。该研究受国家自然科学基金、北京市自然科学基金资助。

论文链接：

https://www.nature.com/articles/s43588-025-00904-8

开源代码：

https://github.com/x66ccff/PSRN